Con un uso apropiado de la tecnología, los estudiantes pueden aprender más matemáticas y con mayor profundidad (Dunham y Dick, 1994; Sheets, 1993; Rojano, 1996; Groves, 1994); la tecnología no debería utilizarse como sustituto de los conocimientos e intuiciones básicos, sino que puede y debería usarse para potenciarlos. En los programas de enseñanza de las matemáticas, la tecnología debería utilizarse, amplia y responsablemente, con el objetivo de enriquecer el aprendizaje.
La existencia, versatilidad y potencia de la tecnología hacen posible y necesario reexaminar qué matemáticas deberían aprender los alumnos, además de cómo aprenderlas mejor. En las aulas de matemáticas que se proponen en (principios y estándares), todos los alumnos tienen acceso a la tecnología.
Indudablemente, el rol docente tiene otro gran desafío con la implementación en las aulas de las nuevas tecnologías. La mayoría realizó sus estudios de grado cuando todavía no estaban incorporadas las TIC en las escuelas, o en sus planes de estudio, todavía no se han incorporado (aún hoy) espacios que las incluyan, por lo tanto es un tema importante en la mayoría de los planes globales, y debería ser tema de discusión en los lugares donde todavía no estén instalados.
La Unesco ha publicado un documento titulado: “Formación docente y las tecnologías de información y comunicación. Estudios de casos en Bolivia, Chile, Colombia, Ecuador, México, Panamá, Paraguay y Perú” (agosto de 2005). Y en su presentación remarca algunas ideas para reflexionar:
Un docente que no maneje las tecnologías de información y comunicación está en clara desventaja con relación a los alumnos. La tecnología avanza en la vida cotidiana más rápido que en las escuelas, inclusive en zonas alejadas y pobres con servicios básicos deficitarios. Desafortunadamente, la sociedad moderna no ha sido capaz de imprimir el mismo ritmo a los cambios que ocurren en la educación.
Si bien todavía un importante número de escuelas no posee computadoras, proyector de imágenes o acceso a internet, esto no necesariamente quiere decir que los estudiantes no estén siendo usuarios de juegos de video, aparatos de audio, internet, telefonía celular, etc. En el campo de las tecnologías los estudiantes, de todas maneras, las aprenden y utilizan en otros contextos.
La incorporación de las tecnologías de comunicación e información a la formación docente es un imperativo, tanto para su propia formación como para el aprendizaje de sus alumnos. No sólo implica apoyar que los docentes conozcan y manejen equipos tecnológicos. Hace falta, sobre todo, contribuir a una reflexión acerca de su impacto en el aprendizaje, su uso adecuado, potencialidades y límites. A esta altura del debate educativo, hay certeza de que ni las tecnologías son la panacea para los problemas de las escuelas, ni la educación puede seguir de espaldas a los cambios que ocurren a su alrededor.
En la siguiente página se puede acceder a todo el documento
http://www.unesco.cl/esp/atematica/docentesytics/docdig/
Y en otro documento titulado: Las tecnologías de la información y la comunicación en la formación docente, de la Unesco. División de Educación Superior (2004), se sintetizan aspectos importantes sobre la problemática de la formación docente y su relación con las nuevas tecnologías:
Los sistemas educativos de todo el mundo se enfrentan actualmente al desafío de utilizar las nuevas tecnologías de la información y la comunicación (TIC) para proveer a sus alumnos las herramientas y conocimientos necesarios para el siglo XXI.
En 1998, el Informe Mundial sobre la Educación de la Unesco, “Los docentes y la enseñanza en un mundo en mutación”, describió el profundo impacto de las TIC en los métodos convencionales de enseñanza y de aprendizaje, augurando también la transformación del proceso de enseñanza-aprendizaje y la forma en que docentes y alumnos acceden al conocimiento y la información.
Las instituciones de educación docente deberán optar entre asumir un papel de liderazgo en la transformación de la educación, o bien quedar rezagadas en el camino del incesante cambio tecnológico. Para que la educación pueda explotar al máximo los beneficios de las TIC en el proceso de aprendizaje, es esencial que tanto los futuros docentes como los docentes en actividad sepan utilizar estas herramientas. Las instituciones y los programas de formación deben liderar y servir como modelo para la capacitación tanto de futuros docentes como de docentes en actividad, en lo que respecta a nuevos métodos pedagógicos y nuevas herramientas de aprendizaje.
En la publicación, titulada Las Tecnologías de la información y la comunicación en la formación docente: Guía de planificación (Unesco), se ofrecen algunas respuestas prácticas a los crecientes desafíos que presenta el uso de las nuevas tecnologías en la profesión docente.
Propone un marco conceptual para las TIC en la formación docente, describe las condiciones esenciales para una integración exitosa de la tecnología y sugiere lineamientos para desarrollar un proceso estratégico de planificación. También se identifican aquí valiosas estrategias para llevar adelante el proceso de cambio en los programas de capacitación docente, de tal modo que acompasen la transformación del proceso de enseñanza-aprendizaje, en la que la tecnología ha sido un importante catalizador.
Los sistemas educativos de todo el mundo se enfrentan actualmente al desafío de utilizar las nuevas tecnologías de la información y la comunicación (TIC) para proveer a sus alumnos las herramientas y conocimientos necesarios para el siglo XXI. En 1998, el Informe Mundial sobre la Educación de la Unesco, Los docentes y la enseñanza en un mundo en mutación, describió el profundo impacto de las TIC en los métodos convencionales de enseñanza y aprendizaje, augurando también la transformación del proceso de enseñanza-aprendizaje y la forma en que docentes y alumnos acceden al conocimiento y la información.
Establece así una serie de recomendaciones a tener en cuenta, como las siguientes:
Para aprovechar de manera efectiva el poder de las nuevas tecnologías de la información y la comunicación (TIC), deben cumplirse las siguientes condiciones esenciales:
Los documentos completos digitalizados están en el siguiente sitio:
http://www.unesco.cl/esp/atematica/docentesytics/docdig
1Nacional Council of Teacher of Mathematics, Principios y Estándares para la educación Matemática. (2000) traducción a cargo de la Sociedad Andaluza de Educación Matemática THALES.
]]>Para ello se ha desarrollado una herramienta capaz de generar materiales interactivos de matemáticas (Descartes); se han construido con ella más de cien unidades didácticas de los distintos cursos de la enseñanza secundaria; se ha realizado la difusión del proyecto entre los profesores de matemática, principalmente con cursos específicos de formación sobre el uso de esta herramienta, en congresos y jornadas dedicadas a la matemática o al uso didáctico de las tecnologías de la información.
Descartes es un programa realizado en lenguaje Java, lo que se denomina un applet. Estos programas se caracterizan por la posibilidad de ser insertados en las páginas web. Existen en internet numerosos applets, algunos de ellos interactivos, es decir que permiten al usuario modificar algún parámetro y observar el efecto que se produce en la pantalla, pero lo que caracteriza a Descartes es que, además, es configurable, es decir, que los usuarios (profesores) pueden programarlo para que aparezcan diferentes elementos y distintos tipos de interacción. En particular, el applet Descartes tiene una programación muy matemática para que a los profesores de esta materia les resulte fácil su aprendizaje y utilización. Tiene como principal finalidad la creación de actividades relacionadas con la representación gráfica de funciones, las representaciones geométricas, la realización de cálculos con las operaciones aritméticas, la utilización de funciones y curvas en general.
Características: es una simulación de un sistema de referencia cartesiano interactivo, en el que se pueden configurar y emplear todos los elementos habituales: origen, ejes, cuadrantes, cuadrícula, puntos, coordenadas, segmentos, vectores, rectas, etc. Todas estas representaciones se realizan sobre un rectángulo y a estas representaciones las denominamos escenas. Los objetos y elementos que aparecen pueden depender de controles, que son parámetros modificables por el usuario, lo que hace que las gráficas y los elementos geométricos que se muestran cambien al ser modificados esos controles. En él se pueden representar curvas y gráficas dadas por sus ecuaciones, tanto en forma explícita como implícita; en particular permite representar las gráficas de todas las funciones que habitualmente se utilizan en la enseñanza secundaria, tanto en coordenadas cartesianas como paramétricas. Se muestran aplicaciones donde también se hacen representaciones en coordenadas polares. Se pueden representar los elementos geométricos habituales: puntos, segmentos, ángulos, rectas, polígonos, circunferencias, etc. Dispone también de una poderosa herramienta de cálculo que permite evaluar cualquier expresión matemática y mostrar el resultado en las escenas. También se pueden definir algoritmos, funciones definidas mediante algoritmos, así como usar sucesiones de puntos, familias de funciones, textos y expresiones matemáticas que pueden aparecer en la escena.
Se ha puesto en marcha un centro servidor de internet con todos los materiales generados, que están a disposición de quien desee utilizarlos, cuya dirección es: http://www.cnice.mecd.es/Descartes
]]>(...) la computadora, tanto como la fotografía, el retroproyector y la fotocopiadora, pueden dar al alumno/a ricas experiencias acerca del desarrollo de habilidades espaciales y de la exploración de conceptos geométricos (perspectiva, proyecciones, transformaciones del plano y del espacio, etc.), pero no deben sustituir nunca completamente la experiencia directa con objetos materiales, el dibujo, las construcciones y el uso de los instrumentos de geometría.
Cabri-Géomètre es un paquete de cómputo de geometría dinámica interactiva en tiempo real. Permite hacer la geometría de una manera muy particular: el usuario puede animar una figura desplazándola o deformándola y el resultado se presentará inmediatamente en la pantalla de la computadora. Esta libertad de movimiento permite rebasar los límites impuestos por el papel y el lápiz de la geometría tradicional. Es un medio de trabajo donde el estudiante tiene la posibilidad de experimentar con una materialización de los objetos matemáticos, de sus representaciones y de sus relaciones, de tal forma que los estudiantes puedan vivir un tipo de experimentación matemática que no es posible tener de otra forma.
Existe también otro proyecto, a cargo de Cobo y Fortuna: el Agentgeom, que según sus diseñadores tiene como antecedente al Cabri, pero lo sitúan metodológicamente más cercano al proyecto Baghera, desarrollado en el Laboratorio Leibniz de Grenoble (Laboratoire Leibniz, 1993) y dirigido por el investigador N. Balacheff.
A diferencia del Cabri, el Agentgeom incorpora una descripción a priori de todos los procedimientos, que identifica un resolutor experto y que pueden conducir a resolver el problema propuesto.
A continuación vamos a retomar las cuestiones fundamentales respecto del Agentgeom, presentadas en un artículo por Cobo y Fortuny1:
Los entornos e-learning y, en particular, el ordenador con conexión a internet son herramientas privilegiadas si, detrás de la programación, hay un análisis serio y riguroso de las tareas pedagógicas y matemáticas a desarrollar, siendo el entorno el que debe adaptarse a los conocimientos de cada alumno y no el alumno el que tenga que adaptarse al dispositivo informático.
Nuestro propósito es aprovechar y potenciar las ventajas de ese tipo de entornos para elaborar un sistema tutorial inteligente, al que llamamos Agentgeom (Agente de Geometría) que colabora con la tutorización humana, ayudando al alumno a mejorar sus competencias matemáticas. Cuando hablamos de las ventajas de los entornos e-learning pensamos en que su utilización facilita las interacciones entre el profesor, los alumnos, la tarea...; mejora la calidad de las interacciones profesor-alumno; incrementa el ritmo y mejora el estilo del aprendizaje de los alumnos; desarrolla el conocimiento y las habilidades de enseñanza del profesor; etcétera (Richard y otros, 2005). Cuando nos referimos a las competencias matemáticas pensamos en la resolución de situaciones-problema, en el desarrollo del razonamiento matemático y en la utilización del lenguaje matemático en los procesos comunicativos que se dan en las situaciones que se plantean.
Un sistema tutorial inteligente ha de tener, desde nuestro punto de vista, tres características básicas:
–-Ha de ser emergente en el sentido de que tenga una conducta que no pueda ser predicha desde una descripción centralizada y completa de las unidades que lo componen. Por tanto, su comportamiento ha de ser autónomo y calificable como espontáneo. Por ejemplo, entre otros, en los aspectos que se refieren a la conversación –ha de tener capacidades de interacción avanzadas, en nuestro caso, mediante mensajes escritos en tiempo real y ajustado al lenguaje del contexto en que se use–. Para mantener este tipo de conversación ha de incorporar una base de conocimientos y un modelo de discurso que le permitan al mismo tiempo asociar ideas.
–Ha de ser personalizado, es decir, ha de proporcionar al usuario actividades y ayudarle a realizarlas, y ha de ser capaz de evolucionar en el tratamiento de la realización de la tarea y adaptarse a las características cognitivas y sociales de cada alumno.
–Ha de ser abierto, es decir, ha de poner menos énfasis en tipos de aprendizajes basados en elementos instructivos y más en aspectos constructivos en los que primen las interacciones no guiadas que permitan a los alumnos practicar y adquirir habilidades metacognitivas, asociadas con la efectividad de la exploración, tan importantes en los modelos de enseñanza y aprendizaje de la resolución de problemas de matemáticas.
Hemos construido el sistema tutorial inteligente, Agentgeom, teniendo en cuenta esas características de emergencia, personalización y apertura, sobre una arquitectura web, a la que podemos acceder mediante un protocolo http.
El proyecto Baghera, como sistema tutorial, incorpora tres principios básicos en la elaboración de entornos asistidos por ordenador. Por una parte, la colaboración entre agentes humanos y artificiales, que supera el paradigma de décadas anteriores en las que se consideraba al ordenador como máquina autónoma que concebía la enseñanza sólo como función instruccional (Balacheff, 2000). En segundo lugar, la concepción de las interacciones entre agentes que tienen habilidades diferentes y complementarias. Y, por último, ambos proyectos están concebidos como sistemas tutoriales multiagente de diagnóstico, que son capaces de identificar los conocimientos de los alumnos después de las interacciones de estos con el sistema.
Retomando las afirmaciones de Pedro Cobo y Joseph M. Fortuna 2 (“La tutorización humana y artificial en la resolución de problemas de matemáticas”),
“…hemos diseñado el Agentgeom de forma que tiene dos áreas –gráfica y deductiva–, cuya utilización conjunta permite a los alumnos crear objetos matemáticos genéricos, es decir, desvinculados de las medidas concretas de sus elementos, para utilizarlos en las sentencias deductivas, que han de ser escritas siguiendo las normas propias del lenguaje matemático. Así pues, los alumnos desarrollan su capacidad de abstracción y se apropian de la idea de demostración matemática, gracias a la desvinculación de los objetos gráficos de sus medidas concretas, a la construcción de las sentencias deductivas tomando como referentes dichos objetos, y a la necesidad, que impone el Agentgeom de no dar por válida una argumentación hasta que no haya habido un número mínimo de acciones reconocidas.
Además, el Agentgeom contribuye al avance en el proceso de resolución del problema haciendo sugerencias que orientan al alumno, pero proporcionándole, en cada momento, sólo la información estrictamente necesaria, de forma que sea el propio alumno el que resuelva realmente el problema”.
Y esto condice totalmente con las orientaciones didácticas actuales referidas a la enseñanza de la geometría.
Existe una infinidad de programas aplicables a la enseñanza de la matemática; nosotros sólo reseñamos algunos, como los anteriores Cabri, Agentgeom, que tienen una base en los principios de la didáctica de la matemática. A continuación sólo vamos a resumir algunos datos sobre otros programas que son usados masivamente en las clases, volviendo a reiterar que por la extensión de este documento sólo vamos a tomar algunos ejemplos; los otros pueden ser consultados en páginas de la Web.
Derive es uno de los programas para computadoras personales que sirven para trabajar con matemáticas, usando las notaciones propias (de símbolos) de esta ciencia. Es uno de los programas más difundidos y populares, porque en su modalidad más sencilla (Derive para DOS ‘classic’) funcionaba en cualquier PC. Es capaz de hacer derivadas, integrales, límites, y tiene capacidad para hacer gráficas (representación de curvas y funciones) y capacidades numéricas que sobrepasan a la mejor calculadora. Es el programa preferido en el ámbito docente, en la enseñanza secundaria y en los primeros años de la universidad, porque es muy fácil de usar.
Graphmatica es un programa graficador. Entre otras cosas, grafica diversos tipos de funciones, de primero y segundo grado, potencia, logarítmicas y exponenciales, entre otras.
Con lo anterior, hemos desarrollado sintéticamente algunas características de software de uso y fácil acceso, pero en especial de Cabri, que es un programa diseñado por especialistas informáticos y pedagogos, teniendo en cuenta los principios de la didáctica de la matemática y sus investigaciones en los distintos niveles educativos. En la Argentina, la Red Olímpica edita libros con resolución de problemas utilizando el Cabri; también en todas sus reuniones anuales existen cursos de capacitación y discusiones de investigaciones sobre este software. De esta manera el docente, que no sólo tiene la responsabilidad de seleccionar el software adecuado para lograr del alumno un aprendizaje permanente (debe analizar cómo la transposición didáctica está presente en cada software), sino de producir situaciones didácticas en que el objeto matemático a estudiar esté involucrado, tiene a su disposición materiales producidos para facilitar su tarea.
Finalmente, podemos decir que las herramientas tecnológicas a nuestro alcance nos ayudan a que el alumno pueda recrear situaciones matemáticas difíciles de reproducir con los medios tradicionales, elimina innumerables horas de meros cálculos y se dispone de tiempo para hacer pensar al alumno. Lo fundamental sigue siendo pensar las situaciones didácticas para una enseñanza.
1Cobo, Fortuna, “El sistema tutorial Agentgeom y su contribución a la mejora de las competencias de los alumnos en la resolución de problemas de matemáticas”, disponible en http://www.blues.uab.es/~ipdmc/tecnologia/cobocordoba.pdf.
2Cobo, Fortuny: “La autorización humana y artificial en la resolución de problemas de matemáticas”, RED, Revista de Educación a Distancia, disponible en http://www.un.es/ead/red/ma
Cognitivamente, la utilización de la tecnología permite el manejo dinámico de múltiples sistemas de representación de los objetos matemáticos. Esta es una importantísima contribución desde el punto de vista del aprendizaje. En la teoría de Duval1, los sistemas de representación juegan un papel preponderante en la comprensión del estudiante acerca de los objetos matemáticos. Los sistemas de representación son de tres tipos: registro algebraico, registro gráfico y registro de la lengua natural, cada uno con sus propias reglas y significación.
En los primeros momentos de implementación de las nuevas tecnologías, los planteos fueron algo distintos a los actuales debido, en primer lugar, a que los primeros software matemáticos (de ejercitar y practicar) no lograban poner al alumno en un modelo de aprendizaje apropiado para incorporar el nuevo conocimiento; además, el acceso que tenía el estudiante a las computadoras era muy restringido. Hoy en día se ha desarrollado una diversidad de software matemáticos con intencionalidades distintas, de acuerdo con el contenido matemático que se desee hacer aprender. Así, tenemos software para aritmética, estadística, geometría, álgebra, precálculo y cálculo. Aunque algunos, como los de aritmética y estadística, no han avanzado mucho respecto del modelo de aprendizaje subyacente. Por ejemplo en estadística, la mayoría de los software sólo simplifican el manejo de datos, no hacen explorar al estudiante sobre el manejo de los datos, los métodos estadísticos, los modelos probabilísticos y simulaciones de situaciones reales. Es decir, no están pensados para desarrollar competencias para seleccionar, combinar y analizar métodos, además de manipular eficientemente los datos.
En álgebra y cálculo existe un número mayor de software que buscan aprovechar el manejo de múltiples registros de representación y la interacción del estudiante con la herramienta, para lograr un conocimiento distinto al tradicional. El alumno puede explorar los problemas, trabajar con situaciones problema más complejas y reales, desarrollar una aproximación más inductiva y empírica en vez de la tradicional aproximación de tipo deductivo y algebraico, especialmente algunos programas que tienen graficadores. Pero lo más importante es el rol del docente que plantea las situaciones donde se los va a utilizar, la forma de estructurar y organizar la enseñanza en el aula, la manera de obtener información, la forma de proponer actividades y tareas.
En geometría se han producido avances importantes. El Cabri-Géomètre es una muestra de ello, puesto que el estudiante puede ver y manipular los objetos matemáticos con el agregado de obtener información aun en el caso en que realice exploraciones no basadas en propiedades de los objetos, ya que entonces no se puede continuar con la construcción. Así, el conocimiento matemático obtenido a través de la exploración de los objetos asume características no tradicionales. Gracias a él se han ido salvando algunas de las dificultades que habitualmente surgen en el estudio de la geometría clásica, como la falta de dinamismo, la dificultad en la construcción, la falta de visión del problema en su conjunto, etcétera.
Además, al ser un programa de geometría dinámica favorece el desarrollo de los conceptos matemáticos, permitiendo visualizar, experimentar, consultar propiedades, simular, descubrir regularidades, etcétera.
Con Cabri algunos temas de geometría, como por ejemplo las transformaciones en el plano, los lugares geométricos, la resolución gráfica de problemas, pueden ser tratados sin exigir grandes conocimientos matemáticos, favoreciendo una metodología en la que el alumnado participa de forma activa en su aprendizaje, haciendo hincapié en la importancia de que realicen sus propios descubrimientos.
1Duval Raymund: "Registros de representación semiótica y funcionamiento cognitivo del pensamiento", en Investigaciones en Matemática Educativa II, editor Fernando Hitt Espinosa, Grupo Editorial Iberoamericana.
]]>En un trabajo titulado "Criterios de diseño y evaluación de situaciones didácticas basadas en el uso de medios informáticos para el estudio de las matemáticas", realizan una fundamentación donde sintetizan las conclusiones de otras investigaciones, de la cual retomamos el siguiente párrafo: En el 'Research Forum’ del PME 25, Lagrange, Artigue, Laborde y Trouche (2001) presentaron los resultados de un meta-análisis de más de 600 publicaciones de los últimos diez años con informes de investigaciones y experiencias de innovación sobre el uso de las TIC (Tecnologías de la Información y la Comunicación) en la educación matemática. Este trabajo y otros 'surveys' similares (Ruthven y Hennessy, 2002) han constatado el bajo nivel de integración de las TIC en las clases de matemáticas y la diversidad de factores a tener en cuenta, tanto para la evaluación de sus efectos como de las condiciones de implementación. Se constata una tensión entre las altas expectativas del uso de las TIC para favorecer la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas y la baja integración en las clases. Parece necesario abordar el tema desde nuevas perspectivas que ayuden a comprender este fenómeno.
1Juan D. Godino, Ángel M. Recio, Rafael Roa, Francisco Ruiz y Juan L. Pareja, Proyecto de Investigación "Edumat-Maestros", Universidad de Granada, en un trabajo titulado "Criterios de diseño y evaluación de situaciones didácticas basadas en el uso de medios informáticos para el estudio de las matemáticas". Puede descargar el texto completo.
]]>Es un proyecto de investigación que tiene como propósito explorar las relaciones entre las ideas que resultan de las actividades realizadas por estudiantes de bachillerato (16-17 años) en un ambiente de geometría dinámica, la escritura de sus conjeturas y la búsqueda de argumentos adecuados para validarlas. Se describe sólo la primera relación, es decir, el paso de las ideas producidas a su formulación escrita. Para tal fin se diseñó un taller de geometría con apoyo de Cabri-Géomètre, con 8 estudiantes de bachillerato.
]]>El taller se desarrolló en dos etapas: en la primera se introdujo a los alumnos participantes en el uso de las herramientas de Cabri-Géomètre; en la segunda etapa, realizaron actividades de construcción y exploración de figuras geométricas, y se les pidió que formularan conjeturas sobre los resultados observados.
Reflexiones finales El solo hecho de haber podido llevar a cabo la experiencia que se describe en este informe en tan poco tiempo muestra una de las riquezas de Cabri-Géomètre. En efecto, sin la ayuda de las actividades con el software hubiera sido imposible plantear a los estudiantes el problema de enunciar una proposición que ellos nunca habían visto formulada pero, además, asegurando que el estudiante tuviera un referente preciso de dicha proposición.
Si se conservan los dos objetivos principales de la geometría: la exploración de objetos geométricos y el fortalecimiento del razonamiento deductivo; más aún, si consideramos que un verdadero aprendizaje de la geometría no puede prescindir del razonamiento deductivo, se debe poner mayor atención a la elaboración de actividades que, con el uso de los ambientes de geometría dinámica, fomenten las actividades de escritura. Se corre el peligro de que el entusiasmo por el software propicie el abandono de este aspecto que es fundamental para acceder a la prueba matemática.
Resumen En este trabajo se presentan los avances del libro Funciones en contexto, tanto en su formato estándar como una versión de lo que constituirá el complemento del libro en forma electrónica. Intenta conciliar tanto los avances teóricos en educación matemática como los tecnológicos. Pretende explicar diferencias sustanciales del formato electrónico con respecto al libro en formato estándar.
Conclusiones La propuesta de enseñanza tiene un acercamiento relativo a la matemática en contexto; además, los aspectos teóricos integrados en la propuesta hacen posible la construcción del concepto de función en forma sólida, de manera que el estudiante podrá desenvolverse con mejores acercamientos a los conceptos matemáticos relacionados con el concepto de función. La versión electrónica de los ejemplos desarrollados en el libro, en su formato estándar, es muy importante dado que promoverá en el estudiante concepciones dinámicas de fenómenos y de los modelos matemáticos asociados a esos fenómenos. Esta posibilidad de interacción dinámica con los ejemplos promoverá en el estudiante la construcción de imágenes mentales dinámicas que posiblemente lo ayudarán a entender mejor un concepto matemático. Considera que la interacción que permite el libro electrónico con los estudiantes será una buena motivación para ellos, y que las nuevas propuestas pueden tener un excelente complemento en este tipo de herramientas informáticas.
]]>En este trabajo el autor estudia cómo los alumnos modelan, usando calculadoras con ajuste de curvas, problemas de relacionar distancias versus tiempos con el propósito de inferir velocidades con el modelo hallado, durante el desarrollo de un curso introductorio de cálculo. Las preguntas de investigación que guiaron el estudio fueron: ¿qué problemas específicos de representación enfrentaron cuando usaron las calculadoras? ¿Cómo eligieron los alumnos un modelo para relacionar la distancia versus el tiempo de entre las varias funciones que tiene la calculadora?
]]> En sus conclusiones, el autor relata: El uso de calculadoras por los estudiantes reveló que algunas de las dificultades que tienen cuando emplean las calculadoras, no se refieren necesariamente al manejo de nuevas representaciones, sino que algunas veces fueron antiguos problemas ya identificados, que volvieron a emerger; por ejemplo, no relacionar las representaciones tabular, gráfica y analítica de una función; se estima que hubo falta de comprensión de las literales como representaciones de números y de la multiplicación de signos o por cero. Dificultades inquietantes si se tiene en cuenta que los alumnos tenían 5 años estudiando álgebra.Con la introducción de la tecnología se incrementa la manera de representar los conceptos matemáticos, ¿podría esto incrementar el riesgo de los problemas de comunicación? En tanto que algunos alumnos parecen tomarla como notación algebraica formal, a pesar que se les pidió que consideraran que cada software o calculadora tienen diferentes maneras de expresar los conceptos matemáticos, parece que ayudaría que las notaciones que usa la tecnología se fueran ajustando más a las usadas en el álgebra. En cuanto a la modelación, algunos alumnos tuvieron problemas para identificar las variables del modelo; también, los alumnos validaron los modelos analíticos exclusivamente usando la vista, observando qué tan bien se ajustaba la gráfica a los datos, como se les había enseñado, sin aportar nada más.
A pesar de todas las dificultades que encontraron algunos alumnos, otros pudieron relacionar la notación de la calculadora y la algebraica; las calculadoras los ayudaron a fortalecer las relaciones entre las representaciones tabular, gráfica y analítica de la función; y modelaron e infirieron la velocidad de ese fenómeno empleando múltiples estrategias.
El uso de Derive para Windows para resolver problemas algebraicos verbales, en el estudio de sistemas de ecuaciones en el bachillerato
por Marcos Aurelio Ventura Farfán, Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, México.
Las preguntas que se realizó el investigador fueron: ¿Es posible lograr en los estudiantes la construcción de conceptos algebraicos y el desarrollo de habilidades matemáticas, si los contenidos son abordados con la resolución de problemas algebraicos de enunciado verbal, y apoyados con el uso de un software como Derive para Windows?
Para probar la hipótesis se plantean los siguientes objetivos de la investigación:
Las preguntas que se realizó el investigador fueron: ¿Las representaciones gráficas que se hacen con la computadora constituyen un medio adecuado para la "visualización" de un problema? ¿Qué influencia tiene la validación de un acierto o un error, por medio de la computadora, en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas? El planteamiento de problemas en contexto, ¿realmente motivará a los alumnos para el aprendizaje del álgebra?
¿Se desarrollan, en los estudiantes, habilidades analíticas, reflexivas y estratégicas para resolver problemas mediante el uso de la computadora? ¿Los alumnos logran evolucionar en la construcción de conceptos algebraicos con el uso de un software, como el Derive para Windows?
De acuerdo con los resultados de esta investigación, hay algunos problemas que son fáciles de comprender por los alumnos, como los de velocidades y compraventa; los que presentaron cierta dificultad fueron los problemas de inversiones, acertijo y geometría; y los más complejos resultaron ser los de mezclas. Cuando la resolución de problemas de enunciado verbal fue abordada en la forma tradicional, no hubo cambios en la actitud y motivación de los alumnos. Pero cuando se trabajó con la ayuda de la computadora y en equipos, sí hubo avances positivos en la actitud y motivación de los estudiantes.
Los estudiantes mejoraron su capacidad de reflexión, de conceptualización y de comprensión de los problemas algebraicos verbales, puesto que hay un mejor desempeño en la representación simbólica del enunciado verbal y en la resolución de las ecuaciones planteadas. Además, el alumno utiliza más frecuentemente la graficación como un método alternativo eficaz, que a su vez, contribuye a la visualización y validación de la resolución del problema.
Por otro lado, se pudo constatar que el ambiente computacional favorece la exploración, la emisión, la prueba de conjeturas, la validación de aciertos y detección de errores. Y observar que los métodos de enseñanza actuales sí obstruyen en los estudiantes habilidades analíticas, reflexivas y estratégicas para la resolución de problemas.
De acuerdo con los resultados de esta investigación, se pudo afirmar que los alumnos incrementan la exploración y la emisión de posibles resultados, toman un papel más activo e independiente en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Cuando se programan y realizan las actividades didácticas adecuadas para que los alumnos usen la computadora como apoyo en el aprendizaje del álgebra, pueden conectar las representaciones numéricas, algebraicas y gráficas a partir de la resolución de un problema, y evolucionan en la construcción de conceptos algebraicos; por ejemplo, utilizan con mayor frecuencia el método gráfico.
Dr. Geo es un programa tanto de geometría interactiva como de programación en el lenguaje Scheme. Permite crear figuras geométricas, así como manipularlas interactivamente respetando sus restricciones geométricas. Es útil para la enseñanza a estudiantes de nivel básico o superior. Algunos de los temas que se pueden trabajar son: semirrecta, segmento, círculo, arco de círculo, polígono, transformaciones geométricas, lugares geométricos, vectores, ángulos. Algunas aplicaciones didácticas en temas como: números irracionales, espiral de Baravelle, cadena de Papus, cálculo de Pi.